Thomas Lanard

A propos

Post-Doctorant à l'Université de Vienne, Autriche

Domaines de recherche: Théorie des représentations, Théorie des nombres, Algèbre
Intêrets actuels: Représentations des groupes p-adiques, Programme de Langlands

Publi­cations

  • Modulo \(\ell\) distinction problems for \(\mathrm{GL}_2\) and \(\mathrm{SL}_2\) (pdf)
    avec Peiyi Cui, Hengfei Lu
    This paper concerns the \(\ell\)-modular representations of \(\mathrm{GL}_2(E)\) and \(\mathrm{SL}_2(E)\) distinguished by a Galois involution, with \(\ell\) an odd prime different from \(p\). We start by proving a general theorem allowing to lift supercuspidal \(\overline{\mathbf{F}}_{\ell}\)-representations of \(\mathrm{GL}_n(F)\) distinguished by an arbitrary closed subgroup \(H\) to a distinguished supercuspidal \(\overline{\mathbf{Q}}_{\ell}\)-representation. Then we give a complete classification of the \(\mathrm{GL}_2(F)\)-distinguished representations of \(\mathrm{GL}_2(E)\), where \(E\) is a quadratic extension of \(F\). For supercuspidal representations, this extends the results of Sécherre to the case \(p=2\). Using this classification we discuss a modular version of the Prasad conjecture for \(\mathrm{PGL}_2\). We show that the "classic" Prasad conjecture fails in the modular setting. We propose a solution using non-nilpotent Weil-Deligne representations. Finally, we apply the restriction method of Anandavardhanan and Prasad to classify the \(\mathrm{SL}_2(F)\)-distinguished modular representations of \(\mathrm{SL}_2(E)\).
  • Depth zero representations over \(\overline{\mathbb{Z}}[\frac{1}{p}]\) (pdf)
    avec Jean-François Dat
    We consider the category of depth \(0\) representations of a \(p\)-adic quasi-split reductive group with coefficients in \(\overline{\mathbb{Z}}[\frac{1}{p}]\). We prove that the blocks of this category are in natural bijection with the connected components of the space of tamely ramified Langlands parameters for \(G\) over \(\overline{\mathbb{Z}}[\frac{1}{p}]\). As a particular case, this depth \(0\) category is thus indecomposable when the group is tamely ramified. Along the way we prove a similar result for finite reductive groups. We then outline a potential application to the Fargues-Scholze and Genestier-Lafforgue semisimple local Langlands correspondences. Namely, contingent on a certain "independence of \(\ell\)" property, our results imply that these correspondences take depth \(0\) representations to tamely ramified parameters.
  • Unipotent \(\ell\)-blocks for simply connected \(p\)-adic groups (pdf)
    Let \(F\) be a non-archimedean local field and \(G\) the \(F\)-points of a connected simply-connected reductive group over \(F\). In this paper, we study the unipotent \(\ell\)-blocks of \(G\). To that end, we introduce the notion of \((d,1)\)-series for finite reductive groups. These series form a partition of the irreducible representations and are defined using Harish-Chandra theory and \(d\)-Harish-Chandra theory. The \(\ell\)-blocks are then constructed using these \((d,1)\)-series, with \(d\) the order of \(q\) modulo \(\ell\), and consistent systems of idempotents on the Bruhat-Tits building of \(G\). We also describe the stable \(\ell\)-block decomposition of the depth zero category of an unramified classical group.
  • Equivalence of categories between coefficient systems and systems of idempotents, Represent. Theory 25 (2021), 422-439 (pdf)
    The consistent systems of idempotents of Meyer and Solleveld allow to construct Serre subcategories of \(Rep_{R}(G)\), the category of smooth representations of a \(p\)-adic group \(G\) with coefficients in \(R\). In particular, they were used to construct level 0 decompositions when \(R=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell}\), \(\ell \neq p\), by Dat for \(GL_n\) and the author for a more general group. Wang proved in the case of \(GL_n\) that the subcategory associated with a system of idempotents is equivalent to a category of coefficient systems on the Bruhat-Tits building. This result was used by Dat to prove an equivalence between an arbitrary level zero block of \(GL_n\) and a unipotent block of another group. In this paper, we generalize Wang's equivalence of category to a connected reductive group on a non-archimedean local field.
  • Sur les \(\ell\)-blocs de niveau zéro des groupes \(p\)-adiques II, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 54 (2021), no. 3, 683–750 (pdf)
    Soient \(G\) un groupe \(p\)-adique se déployant sur une extension non-ramifiée et \(Rep_{\Lambda}^{0}(G)\) la catégorie abélienne des représentations lisses de \(G\) de niveau 0 à coefficients dans \(\Lambda=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell}\) ou \(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell}\). Nous étudions la plus fine décomposition de \(Rep_{\Lambda}^{0}(G)\) en produit de sous-catégories que l'on peut obtenir par la méthode introduite par Lanard, la seule méthode connue à ce jour lorsque \(\Lambda=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell}\) et \(G\) n'est pas forme intérieure de \(GL_n\). Nous en donnons deux descriptions, une première du côté du groupe à la Deligne-Lusztig, puis une deuxième du côté dual à la Langlands. Nous prouvons plusieurs propriétés fondamentales comme la compatibilité à l'induction et la restriction parabolique ou à la correspondance de Langlands locale. Les facteurs de cette décomposition ne sont pas des blocs, mais on montre comment les regrouper pour obtenir les blocs "stables". Certains de ces résultats corroborent une conjecture énoncée par Dat.
  • Sur les \(\ell\)-blocs de niveau zéro des groupes \(p\)-adiques, Compos. Math. 154 (2018), no. 7 (pdf)
    Soit \(G\) un groupe \(p\)-adique se déployant sur une extension non-ramifiée. Nous décomposons \(Rep_{\Lambda}^{0}(G)\), la catégorie abélienne des représentations lisses de \(G\) de niveau \(0\) à coefficients dans \(\Lambda=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell}\) ou \(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell}\), en un produit de sous-catégories indexées par des paramètres inertiels à valeurs dans le dual de Langlands. Ces dernières sont construites à partir de systèmes d'idempotents sur l'immeuble de Bruhat-Tits et de la théorie de Deligne-Lusztig. Nous montrons ensuite des compatibilités aux foncteurs d'induction et de restriction paraboliques ainsi qu'à la correspondance de Langlands locale.

    • Thèse : Sur les \(\ell\)-blocs de niveau zéro des groupes \(p\)-adiques (pdf)

    CV

    Version pdf

    Formation universitaire

    2019–
    Post-Doctorat de Mathématiques,
    Université de Vienne, Autriche
    2015-2019

    Doctorat de Mathématiques,
    Directeur : Jean-François Dat,
    Université Pierre et Marie Curie, IMJ-PRG, Paris

    Sujet : Sur les l-blocs des groupes p-adiques

    2014-2015

    Master (M2) de Mathématiques,
    École Normale Supérieure de Lyon

    Sujet: Introduction à la théorie des fonctions zêta et L et à leurs applications.

    2013-2014
    Agrégation de Mathématiques,
    École Normale Supérieure de Lyon
    Rang : 1er
    2012-2013
    Master (M1) de Mathématiques, ERASMUS,
    Imperial College London / École Normale Supérieure de Lyon
    2011-2012
    Licence (L3) de Mathématiques,
    École Normale Supérieure de Lyon

    Exposés

    Juillet 2022
    AMS-SMF-EMS Joint International Meeting Special Sessions, Grenoble, France
    Juin 2022
    Sémianire de Théorie des Nombres de l’ENS Lyon, Lyon, France
    Mai 2022
    Paris-London Number Theory Seminar, Londres, Royaume-Uni
    Mai 2022
    Séminaire du Laboratoire de Mathématiques de Versailles, Versailles, France
    Mars 2022
    Séminaire Representation Theory and Automorphic Forms, Vienne, Autriche
    Octobre 2021
    Séminaire Groupes, Algèbre et Géométrie, Poitiers, France
    Avril 2021
    Séminaire de géométrie complexe, Exposé en distanciel, Nancy, France
    Janvier 2021
    Séminaire de théorie des groupes, Exposé en distanciel, Amiens, France
    November 2020
    Séminaire de Géométrie Arithmétique et Motivique, Exposé en distanciel, Paris, France
    Décembre 2019
    London Number Theory Seminar, Londres, Royaume-Uni
    Février 2019
    Colloquium GDR TLAG, Poitiers, France
    Février 2019
    Séminaire University of East Anglia, Norwich, Royaume-Uni
    Décembre 2018
    Séminaire University of Vienna, Vienne, Autriche
    Novembre 2018
    Séminaire du Laboratoire de Mathématiques de Versailles, Versailles, France
    Février 2018
    Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l’IMJ-PRG, Paris, France
    Novembre 2017
    Séminaire Groupes, Représentations et Géométrie, Paris, France

    Stages de recherche

    2015
    Institut Mathématique de Jussieu, Jean François Dat
    Représentations des groupes p-adiques et conjectures de Langlands
    2013
    Imperial College London, Kevin Buzzard
    The Modularity Theorem
    2012
    École Polytechnique, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, Alain Plagne
    Le problème de Waring

    Enseignements

    2021-2022
    Linear Algebra
    Licence, TD
    University of Vienna
    2019-2021
    Algebraic Number Theory
    Master, TD
    University of Vienna
    2020-2021
    Linear Algebra and Geometry
    Licence, TD
    University of Vienna
    2020-2021
    Théorie des nombres
    Licence, TD
    University of Vienna
    2015-2019
    Mathématiques en formation continue
    L3, Cours+TD
    Polytech’ Paris
    2018-2019
    Théorie des Groupes
    L3, TD Sorbonne Université
    2018-2019
    Arithmétique
    L2, TD
    Sorbonne Université
    2015-2018
    Analyse de Fourier et Distributions
    L3, TD
    Polytech’ Paris