Thomas Lanard

A propos

Chargé de recherche CNRS
Laboratoire de mathématiques de Versailles
Université de Versailles Saint-Quentin

Domaines de recherche: Théorie des représentations, Théorie des nombres, Algèbre
Intêrets actuels: Représentations des groupes p-adiques, Programme de Langlands

Publications

Modulo \(\ell\) distinction problems (pdf)
avec Peiyi Cui, Hengfei Lu

This paper concerns the \(\ell\)-modular representations of a connected reductive group \(G\) distinguished by a Galois involution, with \(\ell\) an odd prime different from \(p\). We start by proving a general theorem allowing to lift supercuspidal \(\overline{\mathbf{F}}_{\ell}\)-representations of \(\mathrm{GL}_n(F)\) distinguished by an arbitrary closed subgroup \(H\) to a distinguished supercuspidal \(\overline{\mathbf{Q}}_{\ell}\)-representation. Given a quadratic field extension \(E/F\) and an irreducible \(\overline{\mathbf{F}}_{\ell}\)-representation \(\pi\) of \(\mathrm{GL}_n(E)\), we verify the Jacquet conjecture in the modular setting that if the Langlands parameter \(\phi_\pi\) is irreducible and conjugate-self-dual, then \(\pi\) is either \(\mathrm{GL}_n(F)\)-distinguished or \((\mathrm{GL}_n(F),\omega_{E/F})\)-distinguished, but not both, which extends one result of Sécherre to the case \(p=2\). We give another application of our lifting theorem for supercuspidal representations distinguished by a unitary involution, extending one result of Zou to \(p=2\). After that, we give a complete classification of the \(\mathrm{GL}_2(F)\)-distinguished representations of \(\mathrm{GL}_2(E)\). Using this classification we discuss a modular version of the Prasad conjecture for \(\mathrm{PGL}_2\). We show that the "classic" Prasad conjecture fails in the modular setting. We propose a solution using non-nilpotent Weil-Deligne representations. Finally, we apply the restriction method of Anandavardhanan and Prasad to classify the \(\mathrm{SL}_2(F)\)-distinguished modular representations of \(\mathrm{SL}_2(E)\).

Depth zero representations over \(\overline{\mathbb{Z}}[\frac{1}{p}]\) (pdf)
avec Jean-François Dat

We consider the category of depth \(0\) representations of a \(p\)-adic quasi-split reductive group with coefficients in \(\overline{\mathbb{Z}}[\frac{1}{p}]\). We prove that the blocks of this category are in natural bijection with the connected components of the space of tamely ramified Langlands parameters for \(G\) over \(\overline{\mathbb{Z}}[\frac{1}{p}]\). As a particular case, this depth \(0\) category is thus indecomposable when the group is tamely ramified. Along the way we prove a similar result for finite reductive groups. We then outline a potential application to the Fargues-Scholze and Genestier-Lafforgue semisimple local Langlands correspondences. Namely, contingent on a certain "independence of \(\ell\)" property, our results imply that these correspondences take depth \(0\) representations to tamely ramified parameters.

Unipotent \(\ell\)-blocks for simply connected \(p\)-adic groups, accepté à Algebra & Number Theory (2022) (pdf)

Let \(F\) be a non-archimedean local field and \(G\) the \(F\)-points of a connected simply-connected reductive group over \(F\). In this paper, we study the unipotent \(\ell\)-blocks of \(G\), for \(\ell \neq p\). To that end, we introduce the notion of \((d,1)\)-series for finite reductive groups. These series form a partition of the irreducible representations and are defined using Harish-Chandra theory and \(d\)-Harish-Chandra theory. The \(\ell\)-blocks are then constructed using these \((d,1)\)-series, with \(d\) the order of \(q\) modulo \(\ell\), and consistent systems of idempotents on the Bruhat-Tits building of \(G\). We also describe the stable \(\ell\)-block decomposition of the depth zero category of an unramified classical group.

Equivalence of categories between coefficient systems and systems of idempotents, Represent. Theory 25 (2021), 422-439 (pdf)

The consistent systems of idempotents of Meyer and Solleveld allow to construct Serre subcategories of \(Rep_{R}(G)\), the category of smooth representations of a \(p\)-adic group \(G\) with coefficients in \(R\). In particular, they were used to construct level 0 decompositions when \(R=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell}\), \(\ell \neq p\), by Dat for \(GL_n\) and the author for a more general group. Wang proved in the case of \(GL_n\) that the subcategory associated with a system of idempotents is equivalent to a category of coefficient systems on the Bruhat-Tits building. This result was used by Dat to prove an equivalence between an arbitrary level zero block of \(GL_n\) and a unipotent block of another group. In this paper, we generalize Wang's equivalence of category to a connected reductive group on a non-archimedean local field.

Sur les \(\ell\)-blocs de niveau zéro des groupes \(p\)-adiques II, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 54 (2021), no. 3, 683–750 (pdf)

Soient \(G\) un groupe \(p\)-adique se déployant sur une extension non-ramifiée et \(Rep_{\Lambda}^{0}(G)\) la catégorie abélienne des représentations lisses de \(G\) de niveau 0 à coefficients dans \(\Lambda=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell}\) ou \(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell}\). Nous étudions la plus fine décomposition de \(Rep_{\Lambda}^{0}(G)\) en produit de sous-catégories que l'on peut obtenir par la méthode introduite par Lanard, la seule méthode connue à ce jour lorsque \(\Lambda=\overline{\mathbb{Z}}_{\ell}\) et \(G\) n'est pas forme intérieure de \(GL_n\). Nous en donnons deux descriptions, une première du côté du groupe à la Deligne-Lusztig, puis une deuxième du côté dual à la Langlands. Nous prouvons plusieurs propriétés fondamentales comme la compatibilité à l'induction et la restriction parabolique ou à la correspondance de Langlands locale. Les facteurs de cette décomposition ne sont pas des blocs, mais on montre comment les regrouper pour obtenir les blocs "stables". Certains de ces résultats corroborent une conjecture énoncée par Dat.

Sur les \(\ell\)-blocs de niveau zéro des groupes \(p\)-adiques, Compos. Math. 154 (2018), no. 7 (pdf)

Soit \(G\) un groupe \(p\)-adique se déployant sur une extension non-ramifiée. Nous décomposons \(Rep_{\Lambda}^{0}(G)\), la catégorie abélienne des représentations lisses de \(G\) de niveau \(0\) à coefficients dans \(\Lambda=\overline{\mathbb{Q}}_{\ell}\) ou \(\overline{\mathbb{Z}}_{\ell}\), en un produit de sous-catégories indexées par des paramètres inertiels à valeurs dans le dual de Langlands. Ces dernières sont construites à partir de systèmes d'idempotents sur l'immeuble de Bruhat-Tits et de la théorie de Deligne-Lusztig. Nous montrons ensuite des compatibilités aux foncteurs d'induction et de restriction paraboliques ainsi qu'à la correspondance de Langlands locale.

Thèse : Sur les \(\ell\)-blocs de niveau zéro des groupes \(p\)-adiques (pdf)

CV

Version pdf

Formation universitaire

2022–

Chargé de recherche CNRS,
Laboratoire de mathématiques de Versailles, Université de Versailles Saint-Quentin

2019–2022

Post-Doctorat de Mathématiques,
Université de Vienne, Autriche

2015-2019

Doctorat de Mathématiques,
Directeur : Jean-François Dat,
Université Pierre et Marie Curie, IMJ-PRG, Paris

Sujet : Sur les l-blocs des groupes p-adiques

2014-2015

Master (M2) de Mathématiques,
École Normale Supérieure de Lyon

Sujet: Introduction à la théorie des fonctions zêta et L et à leurs applications.

2013-2014

Agrégation de Mathématiques,
École Normale Supérieure de Lyon
Rang : 1er

2012-2013

Master (M1) de Mathématiques, ERASMUS,
Imperial College London / École Normale Supérieure de Lyon

2011-2012

Licence (L3) de Mathématiques,
École Normale Supérieure de Lyon

Exposés

Juillet 2022: AMS-SMF-EMS Joint International Meeting Special Sessions, Grenoble, France
Juin 2022: Sémianire de Théorie des Nombres de l’ENS Lyon, Lyon, France
Mai 2022: French-Korean IRL in Mathematics, Exposé en distanciel
Mai 2022: Paris-London Number Theory Seminar, Londres, Royaume-Uni
Mai 2022: Séminaire du Laboratoire de Mathématiques de Versailles, Versailles, France
Mars 2022: Séminaire Representation Theory and Automorphic Forms, Vienne, Autriche
Octobre 2021: Séminaire Groupes, Algèbre et Géométrie, Poitiers, France
Avril 2021: Séminaire de géométrie complexe, Exposé en distanciel, Nancy, France
Janvier 2021: Séminaire de théorie des groupes, Exposé en distanciel, Amiens, France
November 2020: Séminaire de Géométrie Arithmétique et Motivique, Exposé en distanciel, Paris, France
Décembre 2019: London Number Theory Seminar, Londres, Royaume-Uni
Février 2019: Colloquium GDR TLAG, Poitiers, France
Février 2019: Séminaire University of East Anglia, Norwich, Royaume-Uni
Décembre 2018: Séminaire University of Vienna, Vienne, Autriche
Novembre 2018: Séminaire du Laboratoire de Mathématiques de Versailles, Versailles, France
Février 2018: Séminaire Groupes Réductifs et Formes Automorphes de l’IMJ-PRG, Paris, France
Novembre 2017: Séminaire Groupes, Représentations et Géométrie, Paris, France

Stages de recherche

2015: Institut Mathématique de Jussieu, Jean François Dat
Représentations des groupes p-adiques et conjectures de Langlands
2013: Imperial College London, Kevin Buzzard
The Modularity Theorem
2012: École Polytechnique, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, Alain Plagne
Le problème de Waring

Enseignements

2021-2022: Linear Algebra
Licence, TD
University of Vienna
2019-2021: Algebraic Number Theory
Master, TD
University of Vienna
2020-2021: Linear Algebra and Geometry
Licence, TD
University of Vienna
2020-2021: Théorie des nombres
Licence, TD
University of Vienna
2015-2019: Mathématiques en formation continue
L3, Cours+TD
Polytech’ Paris
2018-2019: Théorie des Groupes
L3, TD Sorbonne Université
2018-2019: Arithmétique
L2, TD
Sorbonne Université
2015-2018: Analyse de Fourier et Distributions
L3, TD
Polytech’ Paris